Кто скрывается за бесконечностью?

«Ибо невидимое Его, вечная сила Его и Божество...»

(Новый Завет, Римл. 1:20)

Когда большинство людей думают о бесконечности, они испытывают головокружение, ведь она неизменно ускользает от нас, как бы мы ни старались. И это в самом деле так. Возможно, бесконечность именно потому вызывает такой интерес, что представляет собой неисчерпаемый источник вдохновения. История ее изучения в математике настолько любопытна, что можно говорить о «математике бесконечности» и смело утверждать, что в математике бесконечность перестала быть чем-то неясным и превратилась в полноценный математический объект, подобный числам и геометрическим фигурам.

Что такое бесконечность

Понятие бесконечности — это неотъемлемая часть человеческой мысли. Весьма вероятно, что мы имеем некое врожденное неясное представление о бесконечности, которое постоянно сопоставляем с противоположным ему четким представлением о конечности, являющейся частью нашей природы. В философии и богословии размышления о бесконечности могут быть необязательными и ситуативными, но в математике ее исследование всегда было и остается насущной необходимостью.

Очень большое и очень малое

Проведем небольшой мысленный эксперимент. Предположим, что у нас есть мяч, который обладает следующими свойствами: всякий раз, когда он падает на пол, он отскакивает на высоту, в два раза меньшую, чем высота, с которой он упал. Если, например, мяч упал с высоты двух метров, он отскочит от пола на метр, затем на 50 см и т. д. Допустим, что нам нужно решить следующую задачу. Мы бросаем мяч с высоты 10 м. Какое расстояние пройдет мяч к тому моменту, когда он остановится? Нельзя сказать, что эту задачу невозможно решить, ведь мы понимаем, что в определенный момент мяч перестанет подпрыгивать — он не может подскакивать вечно. С другой стороны, можно предположить, что пройденный им путь будет бесконечно большим, так как делить пополам можно бесконечно, и всякий раз результатом деления будет все меньшая и меньшая величина. Это типичный парадокс, связанный с бесконечностью (далее мы рассмотрим его подробнее), в котором фигурирует новое для нас понятие бесконечно малой величины. Остановится мяч или же он будет бесконечно долго подпрыгивать на бесконечно малую высоту?

Следовательно, мы можем представить себе бесконечность не только как нечто необъятное, но и как нечто бесконечно малое. Представьте себе отрезок, разделенный на две части. Каждую из них, в свою очередь, можно разделить еще на две части и т. д. По крайней мере теоретически мы можем делить отрезок бесконечное число раз и всякий раз будем получать все более и более мелкие отрезки. Есть ли этому предел? Нет, ведь подобно тому, как мы всегда можем добавить еще одно число к натуральному ряду, так и в этом примере мы всегда можем разделить полученный отрезок еще раз. Таким образом, «бесконечность» может относиться как к чему-то бесконечно большому, так и к бесконечно малому.

Апейрон

Первые рассуждения или размышления о бесконечности, как и о других важнейших понятиях философии, берут начало в древнегреческой культуре. Как известно, одной из многих заслуг греческих философов было создание собственного философского языка. Они обозначали идеи конкретными словами, сформировав философскую терминологию, такую же точную, как научная терминология (или даже более точную), так как в конечном итоге последняя произошла от первой. В нашем случае ключевым понятием является «апейрон» — слово, происходящее от греческого рéгаtа, что означает «предел». Следовательно, нечто, не имеющее рéгаtа, называется апейрон (ápeiron) — «бесконечное, беспредельное».

В греческой философии это «беспредельное» приобрело особое значение: под ним понималось не столько нечто неограниченное, как в наши дни, а источник всего сущего. За этим понятием скрывалась следующая идея: все сущее определяют прежде всего его пределы. Эта идея распространялась как на живые, так и на неживые объекты. Если мы представим себе произвольный объект, например стол, то первое, на что мы обратим внимание, — это не его назначение, а границы, которые отделяют его от всего остального. Живая клетка существует потому, что у нее есть мембрана, отделяющая ее от окружающей среды. Таким образом, можно утверждать: все на свете существует в своих пределах и благодаря им. Апейрон подобен некой неопределенной субстанции, в которой зародилось все сущее, когда в этой субстанции возникли границы, или пределы. Как следствие, причина существования апейрона — скорее присутствие чего-то неопределенного, нежели безграничного.

Поэтому неудивительно, что апейрон считался не только источником живительной силы — ему также приписывалась способность наделять вещи определенными свойствами. Так апейрон и, как следствие, представление о бесконечности в различных религиозных учениях стали связывать с Богом.

Возникла некоторая неоднозначность и даже противоречие: апейрон как основа всего сущего связан с первородным хаосом, то есть с чем-то плохим, нежелательным, чем-то, что не является частью нашего существования. Отсюда и неоднозначность понятия «бесконечность»: его можно связывать как с чем-то божественным и недостижимым, так и с чем-то беспорядочным, хаотичным — чистым злом.

Об этой негативной трактовке бесконечности, сохранившейся в нашей культуре, Хорхе Луис Борхес писал: «Существует понятие, искажающее и обесценивающее другие понятия. Речь идет не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идет о бесконечности».

Другая трактовка понятия «апейрон», которая ближе к примитивной трактовке бесконечности, связана с евклидовым пространством, то есть с безграничным геометрическим пространством. Следуя логике Платона, Аристотель не верил в существование бесконечного пространства. Он считал, что пространство — это место, которое может быть занято предметом, вне зависимости от того, находится в нем сейчас какой-либо предмет или нет. Следовательно, бесконечное пространство может быть занято бесконечно большим предметом, что невозможно.

В рамках этой логики считалось, что звезды и планеты движутся по идеальным окружностям, так как их движение непрерывно, и если бы их траектории были прямолинейными, то они были бы бесконечно протяженными. Это представление о мире впоследствии перенял Коперник и даже сам Кеплер, которые разделяли эту точку зрения на пространство и бесконечность.

В Элейской школе, к которой принадлежали Парменид (530–460 гг. до н. э.) и Зенон (490–430 гг. до н. э.), реальность, Вселенная не могли иметь начала, а следовательно, и конца. Об этом Парменид писал: «…Все едино, недвижимо и бесконечно, так как по другую сторону его предела находилась бы пустота». Это заводит нас в тупик, поскольку пугающая бесконечность в этом случае сменяется столь же пугающей пустотой.

Некоторые понятия недоступны нашему пониманию, но тем не менее они существуют. Между страхом абсолютного ничто и страхом бесконечности нет особой разницы. По сути, это две стороны одной и той же монеты, хотя бесконечность обычно представляется более пугающей, поскольку она в некотором смысле ближе к нам. Мы не можем представить, что пространство, в котором мы живем, является конечным. Когда кто-то пытается представить, что наше пространство конечно, сразу возникает вопрос: «А что находится за его пределами?» Ответом не может быть: «Ничто». Там должно находиться другое пространство, пусть и пустое. Ответ на этот вопрос прост. Мы не знаем, что такое «ничто», а бесконечность, порой воображаемая, нас окружает постоянно, переставая быть просто понятием или концепцией. Присутствие бесконечности и сопутствующих ей вопросов во всех культурах ясно говорит о том, что, нравится нам это или нет, она является частью нашей природы, как жизнь, смерть или время.

Бесконечность и отцы Церкви

В Средневековье споры об актуальной бесконечности не могли вестись в математической плоскости, поскольку бесконечность считалась свойством исключительно божественного и, следовательно, о ней могли рассуждать лишь богословы. Как говорил Аврелий Августин, «бесконечен лишь Бог и его мысли». Удивительно, но несмотря на это церковные сановники отрицали, что Бог способен создать актуальную бесконечность. Фома Аквинский в своем труде «Сумма Теологии» показал: хотя Бог всемогущ и бесконечен, он не может создать нечто абсолютно безграничное. Этот вывод можно оправдать, только если признать, что актуальная бесконечность в богословии равносильна абсолютному злу.

* * *

Мы задали перечисленные ниже вопросы о бесконечности обычному человеку, не имеющему специального математического или философского образования. Отвечать требовалось быстро, не раздумывая, в соответствии со «здравым смыслом», который является отражением наших культурных представлений.

Вопрос: Что такое бесконечность?

Ответ: Что-то, что никогда не заканчивается.

Вопрос: И что это означает?

Ответ: Что ее части можно пересчитывать бесконечно долго.

Вопрос: Почему счет никогда не закончится?

Ответ: Потому что последнего числа не существует.

Вопрос:Откуда вы знаете?

Ответ: Я не могу это доказать. Я в это верю.

Вопрос: Иными словами, речь идет о вере.

Ответ: Не совсем. Я знаю, что каким бы большим ни было число, я всегда могу прибавить к нему другое число.

Вопрос: Я не согласен с этим. Даже если всю жизнь вы будете заниматься исключительно подсчетами, ваша жизнь конечна, и вы не сможете складывать числа неограниченное время.

Ответ: Это не важно — подсчетами могут заниматься несколько поколений людей.

Вопрос: Но жизнь на Земле также не вечна. Даже время существования самой Солнечной системы четко отмерено.

Ответ: Все равно. Не нужно, чтобы кто-то выполнял эти подсчеты в действительности. Достаточно знать, что это можно сделать. Даже если бы на Земле не было людей, это можно было бы сделать. Если никто не может сделать что-то, это не означает, что это «что-то» не существует.

Вопрос: Таким образом, бесконечность — это нечто, существующее независимо от нас.

Ответ: Разумеется

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.

Подтвердите, что Вы не бот — выберите человечка с поднятой рукой: